ماتریس دوران (Rotation Matrix)

ما معمولا برای مبدا مختصاتمون یک چارچوب در نظر میگیریم، اگر  دوبعد رو در نظر بگیریم دو محور وجود دارند که نماینده محور X و Y هستن.

اگر در یک سیستم قطبی یک بردار داشته باشیم با بزرگی |A|  و زاویه تتا برای تبدیل اون به بردار درسیستم مختصاتی دکارت میتونیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

 
همینطور که می بینید می تونیم به جای تجزیه محور ها مستقیم از مختصات دکارتی استفاده کنیم و  مولفه های x و y را قرار دهیم.
اگر یک چارچوب مختصات به صورت زیر داشته باشیم:

 محور ها بصورت زیر خواهند بود :

اگر محورهای بالا را در رابطه قبل قرار بدیم خواهیم دید :

حال به دوران یک بردار میپردازیم، با بحث هایی که بالا شد میتونیم نتیجه بگیریم که اگر ما بخوایم یک بردار رو به زاویه θ برسانیم میتونیم چارچوب رو به همان اندازه θ بچرخونیم در نتیجه محور هم به همان اندازه خواهد چرخید:

همانطور که میبینید ما چار چوب رو به اندازه θ چرخوندیم، با توجه به اندازه بردارمان که یک هست محورهای چارچوب به به صورت بالا تغییر کردند، اگر بیایم رابطه عمومی که در بالا گفتیم رو برای این هم بنویسیم خواهیم داشت :

بنابر این با فرمول بدست اومده می تونیم  هر برداری را به زاویه دلخواه دوران بدیم:

حال میریم سراغ ماتریس دوران، همونطور که میدونیم چارچوب عمومی به شکل زیر تعریف شده :

اگر ما بردار ها رو به صورت سطری در یک ماتریس 2*2 قرار دهیم، به این صورت که سطر اول را مولفه های محور X و در سطر دوم  مولفه های محور Y قرار داشته باشند، ماتریس دوران رو خواهیم داشت :

با ماتریس بدست اومده میتونیم عملیات مختلفی رو روی بردار ها انجام بدیم

برای چرخش یک بردار کافیه که بردارمون رو به عنوان یک ماتریس سطری در نظر بگیریم و در ماتریس دوران ضرب کنیم :

 

ماتریس بدست اومده یک ماتریس سطری دو عنصری هست که در واقع نماینده بردار چرخیده شده مون هست.

برای الحاق کردن هم میتونیم دو ماتریس دوران رو در هم ضرب کنیم :

 

به کمک یک سری اصول مثلثاتی میفهمیم که در واقع ضرب این دو ماتریس برابر با ماتریس دوران جمع  زاویه این دو.

دانلود مقاله به صورت pdf